30 Ejemplos De Factorización Por Factor Común Agrupando Términos Resueltos

¡Hola, cracks de las matemáticas! ¿Listos para dominar el factor común por agrupación de términos? Este método es clave para simplificar expresiones algebraicas complejas, y aquí te vamos a mostrar cómo hacerlo paso a paso con 30 ejemplos resueltos. Prepárense para un viaje lleno de álgebra y diversión. ¡Vamos a ello!

¿Qué es el Factor Común por Agrupación de Términos?

Antes de sumergirnos en los ejemplos, vamos a repasar rápidamente qué es el factor común por agrupación de términos. Básicamente, es una técnica que utilizamos cuando no hay un factor común en todos los términos de una expresión, pero sí podemos encontrar factores comunes al agrupar algunos términos. Suena un poco complicado, ¿verdad? ¡Pero no lo es! La idea principal es identificar grupos de términos que compartan un factor común, factorizar esos grupos por separado, y luego factorizar un factor común más grande que quede en toda la expresión. Imaginen que tienen un rompecabezas y necesitan juntar las piezas correctas para formar una imagen completa. De manera similar, en el factor común por agrupación, estamos juntando los términos adecuados para simplificar la expresión. Este método es súper útil en álgebra porque nos permite simplificar ecuaciones y expresiones que de otra manera serían muy difíciles de manejar. Además, una vez que dominamos esta técnica, podemos aplicarla en una variedad de problemas matemáticos, desde la resolución de ecuaciones hasta la simplificación de funciones. Así que, ¡mantengan la atención y vamos a desglosar este proceso juntos!

La Importancia del Factor Común en Álgebra

Factorizar, en general, es una de las habilidades más importantes en álgebra, y el factor común por agrupación no es una excepción. ¿Por qué es tan crucial? Bueno, factorizar nos permite simplificar expresiones algebraicas, lo que a su vez facilita la resolución de ecuaciones. Imaginen que tienen una ecuación complicada con muchos términos. Factorizar esa ecuación puede transformarla en algo mucho más manejable y fácil de resolver. Además, factorizar es esencial para trabajar con fracciones algebraicas, resolver desigualdades y entender conceptos más avanzados como los polinomios. En esencia, el factor común por agrupación es como tener una llave maestra que abre muchas puertas en el mundo del álgebra. Les permite abordar problemas que parecerían imposibles a primera vista y encontrar soluciones de manera eficiente. Así que, si quieren convertirse en verdaderos magos del álgebra, ¡dominar el factor común es un paso esencial! Con práctica y paciencia, verán cómo esta técnica se convierte en una herramienta poderosa en su arsenal matemático.

Pasos Clave para Factorizar por Agrupación

Antes de lanzarnos a los ejemplos, es fundamental tener claros los pasos clave para factorizar por agrupación. Siguiendo estos pasos, verán cómo el proceso se vuelve mucho más sencillo y sistemático. Aquí los tienen:

1. Agrupar términos: El primer paso es agrupar los términos que tienen un factor común. Aquí es donde entra en juego su ojo matemático. Busquen pares o grupos de términos que compartan un factor, ya sea una variable, un número o una combinación de ambos. Recuerden, el orden de los términos puede ser importante, así que no duden en reorganizarlos si es necesario. A veces, puede que tengan que probar diferentes agrupaciones antes de encontrar la que funcione.
2. Factorizar cada grupo: Una vez que tengan sus grupos, factoricen el factor común de cada uno por separado. Esto significa sacar el máximo factor común de cada grupo y escribir la expresión en forma factorizada. Este paso es crucial porque es donde simplificamos cada grupo individualmente antes de combinarlos.
3. Identificar el factor común resultante: Después de factorizar cada grupo, deberían notar que hay un factor común que se repite en ambos grupos. ¡Este es el factor común que vamos a extraer en el siguiente paso! A veces, este paso puede ser un poco tricky, pero con la práctica, se convertirá en algo natural.
4. Factorizar el factor común: Finalmente, factoricen el factor común resultante de toda la expresión. Esto significa sacar el factor común y escribir la expresión en su forma factorizada final. ¡Y voilà! Han factorizado la expresión por agrupación. Recuerden, la práctica hace al maestro, así que cuanto más practiquen, más fácil les resultará este proceso. ¡Vamos a los ejemplos!

Ejemplos Resueltos de Factor Común por Agrupación

¡Ahora sí, la parte que todos estaban esperando! Vamos a ver 30 ejemplos resueltos de factor común por agrupación. Cada ejemplo está diseñado para mostrarles diferentes situaciones y cómo aplicar los pasos que mencionamos antes. ¡Así que tomen sus lápices y papel, y vamos a empezar!

Ejemplos 1-10: Nivel Básico

Empezaremos con ejemplos sencillos para que se familiaricen con el proceso. ¡No se preocupen, iremos aumentando la dificultad poco a poco!

Ejemplo 1: Factorizar ax + bx + ay + by

• Agrupamos: (ax + bx) + (ay + by)
• Factorizamos cada grupo: x(a + b) + y(a + b)
• Factor común resultante: (a + b)
• Factorizamos el factor común: (a + b)(x + y)

Solución: (a + b)(x + y)

Ejemplo 2: Factorizar 2am - 3bm + 2an - 3bn

• Agrupamos: (2am - 3bm) + (2an - 3bn)
• Factorizamos cada grupo: m(2a - 3b) + n(2a - 3b)
• Factor común resultante: (2a - 3b)
• Factorizamos el factor común: (2a - 3b)(m + n)

Solución: (2a - 3b)(m + n)

Ejemplo 3: Factorizar 3x² - 3bx + xz - bz

• Agrupamos: (3x² - 3bx) + (xz - bz)
• Factorizamos cada grupo: 3x(x - b) + z(x - b)
• Factor común resultante: (x - b)
• Factorizamos el factor común: (x - b)(3x + z)

Solución: (x - b)(3x + z)

Ejemplo 4: Factorizar m² + mn + mx + nx

• Agrupamos: (m² + mn) + (mx + nx)
• Factorizamos cada grupo: m(m + n) + x(m + n)
• Factor común resultante: (m + n)
• Factorizamos el factor común: (m + n)(m + x)

Solución: (m + n)(m + x)

Ejemplo 5: Factorizar 2x² - 4xy + 3xz - 6yz

• Agrupamos: (2x² - 4xy) + (3xz - 6yz)
• Factorizamos cada grupo: 2x(x - 2y) + 3z(x - 2y)
• Factor común resultante: (x - 2y)
• Factorizamos el factor común: (x - 2y)(2x + 3z)

Solución: (x - 2y)(2x + 3z)

Ejemplo 6: Factorizar 15 + 5x + 6y + 2xy

• Agrupamos: (15 + 5x) + (6y + 2xy)
• Factorizamos cada grupo: 5(3 + x) + 2y(3 + x)
• Factor común resultante: (3 + x)
• Factorizamos el factor común: (3 + x)(5 + 2y)

Solución: (3 + x)(5 + 2y)

Ejemplo 7: Factorizar 3am - 2bm - 2an + 3bn

• Agrupamos: (3am - 2bm) + (-2an + 3bn)
• Factorizamos cada grupo: m(3a - 2b) - n(2a - 3b)
• Reorganizamos el segundo grupo: m(3a - 2b) + n(-2a + 3b) = m(3a - 2b) + n(3a - 2b)
• Factor común resultante: (3a - 2b)
• Factorizamos el factor común: (3a - 2b)(m + n)

Solución: (3a - 2b)(m + n)

Ejemplo 8: Factorizar 2x² - 3xy - 4x + 6y

• Agrupamos: (2x² - 3xy) + (-4x + 6y)
• Factorizamos cada grupo: x(2x - 3y) - 2(2x - 3y)
• Factor común resultante: (2x - 3y)
• Factorizamos el factor común: (2x - 3y)(x - 2)

Solución: (2x - 3y)(x - 2)

Ejemplo 9: Factorizar a²x² - a²y² + b²x² - b²y²

• Agrupamos: (a²x² - a²y²) + (b²x² - b²y²)
• Factorizamos cada grupo: a²(x² - y²) + b²(x² - y²)
• Factor común resultante: (x² - y²)
• Factorizamos el factor común: (x² - y²)(a² + b²)
• Factorizamos la diferencia de cuadrados: (x + y)(x - y)(a² + b²)

Solución: (x + y)(x - y)(a² + b²)

Ejemplo 10: Factorizar 3x³ + 5x² + 6x + 10

• Agrupamos: (3x³ + 5x²) + (6x + 10)
• Factorizamos cada grupo: x²(3x + 5) + 2(3x + 5)
• Factor común resultante: (3x + 5)
• Factorizamos el factor común: (3x + 5)(x² + 2)

Solución: (3x + 5)(x² + 2)

Ejemplos 11-20: Nivel Intermedio

Ahora que ya tienen una base sólida, vamos a subir un poco la dificultad. ¡Estos ejemplos requerirán un poco más de ingenio!

Ejemplo 11: Factorizar 2a² + 3ab - 4a - 6b

• Agrupamos: (2a² + 3ab) + (-4a - 6b)
• Factorizamos cada grupo: a(2a + 3b) - 2(2a + 3b)
• Factor común resultante: (2a + 3b)
• Factorizamos el factor común: (2a + 3b)(a - 2)

Solución: (2a + 3b)(a - 2)

Ejemplo 12: Factorizar x³ - 2x² + 3x - 6

• Agrupamos: (x³ - 2x²) + (3x - 6)
• Factorizamos cada grupo: x²(x - 2) + 3(x - 2)
• Factor común resultante: (x - 2)
• Factorizamos el factor común: (x - 2)(x² + 3)

Solución: (x - 2)(x² + 3)

Ejemplo 13: Factorizar 4m² - 6mn - 6m + 9n

• Agrupamos: (4m² - 6mn) + (-6m + 9n)
• Factorizamos cada grupo: 2m(2m - 3n) - 3(2m - 3n)
• Factor común resultante: (2m - 3n)
• Factorizamos el factor común: (2m - 3n)(2m - 3)

Solución: (2m - 3n)(2m - 3)

Ejemplo 14: Factorizar 10ax - 15bx + 8ay - 12by

• Agrupamos: (10ax - 15bx) + (8ay - 12by)
• Factorizamos cada grupo: 5x(2a - 3b) + 4y(2a - 3b)
• Factor común resultante: (2a - 3b)
• Factorizamos el factor común: (2a - 3b)(5x + 4y)

Solución: (2a - 3b)(5x + 4y)

Ejemplo 15: Factorizar 6x² + 3xy - 4x - 2y

• Agrupamos: (6x² + 3xy) + (-4x - 2y)
• Factorizamos cada grupo: 3x(2x + y) - 2(2x + y)
• Factor común resultante: (2x + y)
• Factorizamos el factor común: (2x + y)(3x - 2)

Solución: (2x + y)(3x - 2)

Ejemplo 16: Factorizar 20a² - 5ab + 12ac - 3bc

• Agrupamos: (20a² - 5ab) + (12ac - 3bc)
• Factorizamos cada grupo: 5a(4a - b) + 3c(4a - b)
• Factor común resultante: (4a - b)
• Factorizamos el factor común: (4a - b)(5a + 3c)

Solución: (4a - b)(5a + 3c)

Ejemplo 17: Factorizar 14x² - 21xy - 6xz + 9yz

• Agrupamos: (14x² - 21xy) + (-6xz + 9yz)
• Factorizamos cada grupo: 7x(2x - 3y) - 3z(2x - 3y)
• Factor común resultante: (2x - 3y)
• Factorizamos el factor común: (2x - 3y)(7x - 3z)

Solución: (2x - 3y)(7x - 3z)

Ejemplo 18: Factorizar 3m³ - 5m² - 6m + 10

• Agrupamos: (3m³ - 5m²) + (-6m + 10)
• Factorizamos cada grupo: m²(3m - 5) - 2(3m - 5)
• Factor común resultante: (3m - 5)
• Factorizamos el factor común: (3m - 5)(m² - 2)

Solución: (3m - 5)(m² - 2)

Ejemplo 19: Factorizar 5p² + 15pq - 2pr - 6qr

• Agrupamos: (5p² + 15pq) + (-2pr - 6qr)
• Factorizamos cada grupo: 5p(p + 3q) - 2r(p + 3q)
• Factor común resultante: (p + 3q)
• Factorizamos el factor común: (p + 3q)(5p - 2r)

Solución: (p + 3q)(5p - 2r)

Ejemplo 20: Factorizar 12x³ - 18x² - 10x + 15

• Agrupamos: (12x³ - 18x²) + (-10x + 15)
• Factorizamos cada grupo: 6x²(2x - 3) - 5(2x - 3)
• Factor común resultante: (2x - 3)
• Factorizamos el factor común: (2x - 3)(6*x² - 5)

Solución: (2x - 3)(6*x² - 5)

Ejemplos 21-30: Nivel Avanzado

¡Llegamos al nivel experto! Estos ejemplos son para aquellos que quieren un verdadero desafío. ¡Prepárense para poner a prueba sus habilidades!

Ejemplo 21: Factorizar a²b² + a²c² - b²c² - a⁴

• Agrupamos: (a²b² - a⁴) + (a²c² - b²c²)
• Factorizamos cada grupo: a²(b² - a²) + c²(a² - b²)
• Reorganizamos el segundo grupo: a²(b² - a²) - c²(b² - a²)
• Factor común resultante: (b² - a²)
• Factorizamos el factor común: (b² - a²)(a² - c²)
• Factorizamos las diferencias de cuadrados: (b + a)(b - a)(a + c)(a - c)

Solución: (b + a)(b - a)(a + c)(a - c)

Ejemplo 22: Factorizar x⁴ - 3x³ + 4x - 12

• Agrupamos: (x⁴ - 3x³) + (4x - 12)
• Factorizamos cada grupo: x³(x - 3) + 4(x - 3)
• Factor común resultante: (x - 3)
• Factorizamos el factor común: (x - 3)(x³ + 4)

Solución: (x - 3)(x³ + 4)

Ejemplo 23: Factorizar 2m³ - 6m²n + 3mn² - 9n³

• Agrupamos: (2m³ - 6m²n) + (3mn² - 9n³)
• Factorizamos cada grupo: 2m²(m - 3n) + 3n²(m - 3n)
• Factor común resultante: (m - 3n)
• Factorizamos el factor común: (m - 3n)(2m² + 3n²*)

Solución: (m - 3n)(2m² + 3n²*)

Ejemplo 24: Factorizar 4a³ - 12a² + 5a - 15

• Agrupamos: (4a³ - 12a²) + (5a - 15)
• Factorizamos cada grupo: 4a²(a - 3) + 5(a - 3)
• Factor común resultante: (a - 3)
• Factorizamos el factor común: (a - 3)(4a² + 5)

Solución: (a - 3)(4a² + 5)

Ejemplo 25: Factorizar 15x⁴ - 10x³ + 18x - 12

• Agrupamos: (15x⁴ - 10x³) + (18x - 12)
• Factorizamos cada grupo: 5x³(3x - 2) + 6(3x - 2)
• Factor común resultante: (3x - 2)
• Factorizamos el factor común: (3x - 2)(5*x³ + 6)

Solución: (3x - 2)(5*x³ + 6)

Ejemplo 26: Factorizar 6p²q² - 9pq³ - 10p + 15q

• Agrupamos: (6p²q² - 9pq³) + (-10p + 15q)
• Factorizamos cada grupo: 3pq²(2p - 3q) - 5(2p - 3q)
• Factor común resultante: (2p - 3q)
• Factorizamos el factor común: (2p - 3q)(3*pq² - 5)

Solución: (2p - 3q)(3*pq² - 5)

Ejemplo 27: Factorizar 4m³n - 6m²n² + 10mn - 15n²

• Agrupamos: (4m³n - 6m²n²) + (10mn - 15n²)
• Factorizamos cada grupo: 2m²n(2m - 3n) + 5n(2m - 3n)
• Factor común resultante: (2m - 3n)
• Factorizamos el factor común: (2m - 3n)(2m²n + 5n*)

Solución: (2m - 3n)(2m²n + 5n*)

Ejemplo 28: Factorizar 12x³y + 18x²y² - 8x - 12y

• Agrupamos: (12x³y + 18x²y²) + (-8x - 12y)
• Factorizamos cada grupo: 6x²y(2x + 3y) - 4(2x + 3y)
• Factor común resultante: (2x + 3y)
• Factorizamos el factor común: (2x + 3y)(6*x²y - 4)

Solución: (2x + 3y)(6*x²y - 4)

Ejemplo 29: Factorizar a⁵ - 4a³ + 2a² - 8

• Agrupamos: (a⁵ - 4a³) + (2a² - 8)
• Factorizamos cada grupo: a³(a² - 4) + 2(a² - 4)
• Factor común resultante: (a² - 4)
• Factorizamos el factor común: (a² - 4)(a³ + 2)
• Factorizamos la diferencia de cuadrados: (a + 2)(a - 2)(a³ + 2)

Solución: (a + 2)(a - 2)(a³ + 2)

Ejemplo 30: Factorizar 20p³q - 30p²q² + 12pq - 18q²

• Agrupamos: (20p³q - 30p²q²) + (12pq - 18q²)
• Factorizamos cada grupo: 10p²q(2p - 3q) + 6q(2p - 3q)
• Factor común resultante: (2p - 3q)
• Factorizamos el factor común: (2p - 3q)(10p²q + 6q*)

Solución: (2p - 3q)(10p²q + 6q*)

Consejos Adicionales para Dominar el Factor Común por Agrupación

¡Felicidades por llegar hasta aquí! Ya han visto 30 ejemplos resueltos de factor común por agrupación. Pero, como en todo en matemáticas, la clave está en la práctica. Aquí tienen algunos consejos adicionales para convertirse en unos verdaderos expertos:

• Practiquen, practiquen, practiquen: La mejor manera de dominar cualquier técnica matemática es practicarla repetidamente. Resuelvan tantos ejercicios como puedan. ¡No se rindan ante el primer obstáculo!
• Revisen sus respuestas: Siempre verifiquen sus soluciones. Una forma de hacerlo es multiplicar los factores que obtuvieron para asegurarse de que el resultado sea la expresión original.
• Busquen patrones: A medida que resuelvan más problemas, empezarán a notar patrones. Identificar estos patrones les ayudará a factorizar más rápido y eficientemente.
• No tengan miedo de experimentar: A veces, la primera agrupación que intentan no funciona. ¡No pasa nada! Intenten otra agrupación y vean si funciona mejor. La experimentación es parte del proceso de aprendizaje.
• Consulten recursos adicionales: Si se sienten atascados, no duden en buscar ayuda. Hay muchos libros, videos y sitios web que pueden ofrecerles explicaciones adicionales y ejemplos.

Conclusión: ¡Ustedes Pueden Dominar el Factor Común por Agrupación!

¡Y eso es todo, amigos! Han recorrido un largo camino en este artículo, desde entender qué es el factor común por agrupación hasta resolver 30 ejemplos de diferentes niveles de dificultad. Esperamos que esta guía les haya sido útil y que se sientan más seguros al abordar problemas de factorización. Recuerden, la práctica constante es la clave del éxito. ¡Así que sigan practicando y pronto serán unos maestros del álgebra!

¡Ahora, salgan y conquisten el mundo de las matemáticas! ¡Nos vemos en el próximo artículo!