Integral De X² E^x: Resolvendo O Desafio!

Ei, pessoal! Já se pegaram encarando uma integral definida que parece um bicho de sete cabeças? Aquela que te faz questionar tudo o que você aprendeu em cálculo? Se a resposta for sim, relaxa! Hoje, vamos juntos desmistificar a integral definida de x² e^x dx, com os limites de integração de 0 a 1. Preparem-se para uma jornada matemática épica, onde vamos não só resolver o problema, mas também entender a lógica por trás de cada passo. E, claro, no final, vamos escolher a alternativa correta. Então, peguem seus lápis, cadernos e vamos nessa!

O Desafio da Integral: x² e^x dx de 0 a 1

Quando nos deparamos com integrais desse tipo, a primeira reação pode ser de puro pânico. Mas, acreditem, não há motivo para desespero! A chave para resolver integrais como essa é a técnica da integração por partes. Essa técnica, meus amigos, é uma verdadeira mão na roda quando temos o produto de duas funções dentro da integral. No nosso caso, as funções são x² e e^x. Mas, antes de mergulharmos de cabeça na técnica, vamos entender o porquê de ela ser tão útil.

Por que Integração por Partes?

A integração por partes é como um superpoder que nos permite transformar uma integral complicada em algo mais gerenciável. Ela é baseada na regra do produto para derivadas, e nos ajuda a quebrar a integral original em partes menores e mais fáceis de resolver. A fórmula mágica por trás dessa técnica é:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Onde u e v são funções de x, e du e dv são suas respectivas diferenciais. A grande sacada aqui é escolher as funções u e dv de forma inteligente, para que a nova integral (∫ v du) seja mais simples do que a original. E é aqui que a diversão começa!

Escolhendo as Funções Certas: O Método ILATE

Ah, a escolha de u e dv... Eis a questão! Para nos ajudar nessa tarefa, existe um mnemônico muito útil: ILATE. Essa palavrinha mágica representa a ordem de prioridade na escolha de u:

• I - Funções Inversas trigonométricas (ex: arcsin x, arctan x)
• L - Funções Logarítmicas (ex: ln x, log x)
• A - Funções Algébricas (ex: x², x³ + 1)
• T - Funções Trigonométricas (ex: sin x, cos x)
• E - Funções Exponenciais (ex: e^x, 2^x)

No nosso caso, temos uma função algébrica (x²) e uma função exponencial (e^x). Seguindo a ordem ILATE, a função algébrica tem prioridade, então vamos escolher:

• u = x²
• dv = e^x dx

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, vamos derivar u e integrar dv:

• du = 2x dx
• v = ∫ e^x dx = e^x

Com todas as peças no lugar, podemos finalmente aplicar a fórmula da integração por partes.

Aplicando a Fórmula Mágica

Substituindo as funções na fórmula, temos:

∫ x² e^x dx = x² e^x - ∫ e^x (2x dx)

Olha só! A integral original se transformou em algo um pouco menos assustador. Mas ainda temos uma integral para resolver: ∫ e^x (2x dx). E adivinhem? Vamos usar a integração por partes novamente!

Integração por Partes, Round 2!

Para resolver ∫ e^x (2x dx), vamos repetir o processo. Desta vez, vamos escolher:

• u = 2x
• dv = e^x dx

Calculando du e v:

• du = 2 dx
• v = e^x

Aplicando a fórmula da integração por partes novamente:

∫ e^x (2x dx) = 2x e^x - ∫ e^x (2 dx)

Agora sim! A integral ∫ e^x (2 dx) é bem mais simples de resolver. Vamos calcular:

∫ e^x (2 dx) = 2 ∫ e^x dx = 2e^x

Juntando as Peças do Quebra-Cabeça

Agora que resolvemos todas as integrais parciais, é hora de juntar tudo e obter a solução final. Vamos voltar à nossa integral original e substituir os resultados:

∫ x² e^x dx = x² e^x - [2x e^x - 2e^x] + C

Simplificando a expressão:

∫ x² e^x dx = x² e^x - 2x e^x + 2e^x + C

Onde C é a constante de integração. Mas, calma! Ainda não chegamos ao fim. Precisamos calcular a integral definida, ou seja, aplicar os limites de integração de 0 a 1.

Calculando a Integral Definida: A Reta Final

Para calcular a integral definida, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos diz que a integral definida de uma função entre dois limites é igual à diferença entre os valores da primitiva da função nesses limites. Em outras palavras, vamos substituir x por 1 e por 0 na nossa primitiva e subtrair os resultados.

Aplicando os Limites de Integração

Primeiro, vamos calcular o valor da primitiva em x = 1:

(1)² e^(1) - 2(1) e^(1) + 2e^(1) = e - 2e + 2e = e

Agora, vamos calcular o valor da primitiva em x = 0:

(0)² e^(0) - 2(0) e^(0) + 2e^(0) = 0 - 0 + 2 = 2

Finalmente, vamos subtrair os resultados:

∫₀¹ x² e^x dx = e - 2

Simplificando a Resposta

Para comparar com as alternativas, podemos reescrever a resposta como:

e - 2 = (e - 2) / 1 = (e - 2) / (e/e) = (e - 2)e / e = (e² - 2e) / e

Essa não parece ser nenhuma das alternativas. Vamos voltar um pouco e verificar nossos cálculos, pois parece que erramos em algum lugar. O erro está na simplificação final. Vamos refazer os cálculos com mais atenção.

Refazendo os Cálculos Finais

Tínhamos a integral definida como:

∫₀¹ x² e^x dx = [x² e^x - 2x e^x + 2e^x]₀¹

Substituindo os limites de integração:

= [(1)² e^(1) - 2(1) e^(1) + 2e^(1)] - [(0)² e^(0) - 2(0) e^(0) + 2e^(0)]

= [e - 2e + 2e] - [0 - 0 + 2]

= e - 2

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) 1/e b) 2/e c) 3/e d) 4/e

Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente a e - 2. No entanto, podemos manipular a expressão para ver se chegamos a alguma das alternativas. Vamos tentar fatorar e na expressão original da integral indefinida antes de aplicar os limites:

∫ x² e^x dx = e^x (x² - 2x + 2) + C

Agora, aplicando os limites de integração:

[e^(1) (1² - 2(1) + 2)] - [e^(0) (0² - 2(0) + 2)]

= [e (1 - 2 + 2)] - [1 (0 - 0 + 2)]

= e - 2

Ainda não chegamos a nenhuma das alternativas. Parece que há um erro na formulação das alternativas ou na questão. No entanto, vamos tentar expressar nossa resposta em termos de e no denominador para ver se alguma alternativa se aproxima:

e - 2 = (e² - 2e) / e

Essa expressão ainda não corresponde a nenhuma das alternativas. Portanto, a resposta correta, com base nos nossos cálculos, é e - 2, que não está listada nas alternativas. É possível que haja um erro na questão ou nas alternativas fornecidas.

Escolhendo a Alternativa Correta (Com uma Ressalva)

Baseado nos nossos cálculos, a resposta correta para a integral definida de x² e^x dx, com os limites de integração de 0 a 1, é e - 2. No entanto, essa resposta não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas. Portanto, se fôssemos forçados a escolher uma alternativa, a mais próxima seria a c) 3/e, que é aproximadamente igual a 1.1036, enquanto e - 2 é aproximadamente 0.7183. Mas é importante ressaltar que essa escolha seria uma aproximação, e a resposta correta mesmo é e - 2.

Conclusão: A Beleza da Integração por Partes

Ufa! Chegamos ao fim da nossa jornada matemática. Desvendamos a integral definida de x² e^x dx, aplicamos a técnica da integração por partes (duas vezes!), e calculamos os limites de integração. Vimos que, às vezes, a resposta correta pode não estar nas alternativas fornecidas, e é importante confiar nos nossos cálculos. A integração por partes pode parecer um desafio no início, mas com prática e paciência, ela se torna uma ferramenta poderosa para resolver integrais complexas. E aí, prontos para o próximo desafio matemático?